Questão FC236516
Uma mercadoria no valor A será comprada em duas parcelas iguais a p, calculadas a partir de uma taxa de juros mensal fixa i, no regime de juros compostos, sendo a primeira parcela
Equivalência de Capitais
CESGRANRIO · 2018
Uma mercadoria no valor A será comprada em duas parcelas iguais a p, calculadas a partir de uma taxa de juros mensal fixa i, no regime de juros compostos, sendo a primeira parcela paga 1 mês após a compra, e a segunda, 2 meses após a compra.
A expressão da taxa i de correção do dinheiro, usada pela loja para calcular as parcelas, é dada por
- \(i = { \large p \over A}\)
- \(i = { \large p + \sqrt{p^2 - 4Ap} \over 2A}\)
- \(i = { \large p + \sqrt{p^2 + 4Ap} \over 2A}\)
- \(i = { \large p + A + \sqrt{p^2 + 4Ap} \over 2A}\)
- \(i = { \large p - 2A + \sqrt{p^2 + 4Ap} \over 2A}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Partimos do valor presente: \(A=\dfrac{p}{1+i}+\dfrac{p}{(1+i)^2}\).
Faça \(x=1+i\). Multiplicando por \(x^2\) obtém-se a equação quadrática \(Ax^2=px+p\), ou seja \(Ax^2-px-p=0\).
Resolvendo por Bhaskara, o discriminante é \(\Delta=p^2+4Ap\) e as raízes são \(x=\dfrac{p\pm\sqrt{p^2+4Ap}}{2A}\).
Como \(x=1+i\) e procuramos uma taxa positiva, escolhe-se a raiz com o sinal “+”. Assim \(i=x-1=\dfrac{p+\sqrt{p^2+4Ap}}{2A}-1\).
Reescrevendo, chega-se à expressão final \(i=\dfrac{p-2A+\sqrt{p^2+4Ap}}{2A}\), que é a alternativa correta.
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