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Questão FC334749

Um capital será aplicado por um ano. O regime de capitalização será composto, sendo que incidirão duas taxas de juros semestrais, pagas ao final de cada semestre. Sabendo-se que as

Regime de Juros e Descontos Compostos

FGV · 2015

Um capital será aplicado por um ano. O regime de capitalização será composto, sendo que incidirão duas taxas de juros semestrais, pagas ao final de cada semestre.


Sabendo-se que as duas taxas de juros praticadas precisam somar 12%, a melhor escolha para a taxa do primeiro semestre, do ponto de vista do investidor, é:

  1. 0% ao semestre
  2. 1% ao semestre;
  3. 6% ao semestre;
  4. 9% ao semestre;
  5. 12% ao semestre.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Sejam \(i\) e \(j\) as taxas semestrais e \(p=1+i,\;q=1+j\) os respectivos fatores de capitalização. Como \(i+j=0{,}12\), temos \(p+q=2{,}12\).

O montante (com capital inicial unitário) é \(M=p\cdot q\). Com a soma dos fatores fixa, o produto \(p(2{,}12-p)\) é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice dá o valor de \(p\) que maximiza \(M\).

Calculando o vértice: \(p=\dfrac{2{,}12}{2}=1{,}06\). Logo \(1+i=1{,}06\Rightarrow i=0{,}06\), ou seja, 6% no primeiro semestre.

Intuitivamente, pelo princípio da média aritmética/geométrica, dado um mesmo somatório de fatores, o produto é máximo quando os fatores são iguais — daí a escolha de 6%.

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