Patrícia e Adriana possuem capitais diferentes e fizeram, no mesmo instante, aplicações sob o regime de juros compostos. Patrícia possui um capital de R$ 40.000,00 e o aplicou sob

Gabarito

B

Comentário do professor

Patrícia aplicou R$40.000 a 22% a.a. e Adriana R$8.000 a 26% a.a.; queremos o instante em que o montante de Adriana ultrapassa o de Patrícia. No regime de juros compostos usamos \(M=C(1+i)^t\).

Montante de Adriana maior que o de Patrícia: \(8000(1{,}26)^t>40000(1{,}22)^t\). Dividindo ambos os lados por \(8000(1{,}22)^t\) obtém-se \(\left(\dfrac{1{,}26}{1{,}22}\right)^t>5\).

Aplicando o logaritmo natural (ln) e isolando \(t\): \(t\ln\!\left(\dfrac{1{,}26}{1{,}22}\right)>\ln5\), logo \(t>\dfrac{\ln5}{\ln1{,}26-\ln1{,}22}\). Portanto, o tempo buscado é \(t=\dfrac{\ln(5)}{\ln(1{,}26)-\ln(1{,}22)}\), conforme a alternativa correta.