Acerca das técnicas de processamento digital de sinais, julgue o item a seguir. O sistema y[n] = x[n] + \(\frac{1}{2}\) y [n-1] é um filtro IIR (infinite impulse response) estável.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

O sistema é um filtro IIR porque a saída depende de uma amostra passada da própria saída: \(y[n]=x[n]+\tfrac{1}{2}y[n-1]\). Essa realimentação faz com que a resposta ao impulso possa se estender indefinidamente, caracterizando infinite impulse response.

A estabilidade no sentido BIBO é verificada pela resposta ao impulso. Aplicando \(x[n]=\delta[n]\) obtemos \(h[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]\). Como \(\sum_{n=0}^{\infty}\left|\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right|=1/(1-\tfrac{1}{2})=2\), a resposta ao impulso é absolutamente somável, logo o sistema é estável.

Em Z, \(H(z)=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}\) tem ROC \(|z|>1/2\), que inclui o círculo unitário, confirmando estabilidade e causalidade.