Questão FC219568
Considere as seguintes afirmações a respeito da função \(f : \mathsf {IR} \rightarrow \mathsf {IR}\), definida como \(y = f (x) = ax^2 + bx + c\), com a, b e c reais, e a \(\ne\) 0
Lógica de Proposições
VUNESP · 2025
Considere as seguintes afirmações a respeito da função \(f : \mathsf {IR} \rightarrow \mathsf {IR}\), definida como \(y = f (x) = ax^2 + bx + c\), com a, b e c reais, e a \(\ne\) 0:
\(p: (\forall x \in \mathsf {IR}) ;\)\(\begin{pmatrix} a > 0 \rightarrow f (x) \ge c - {\large b^2 \over 4. a}\end{pmatrix}\)
\(q : (\forall x \in \mathsf {IR}) ;\)\(\begin{pmatrix} a < 0 \rightarrow f (x) \le c - {\large b^2 \over 4. a}\end{pmatrix}\)
\(r : (\forall x \in \mathsf {IR}) ;\)\((b^2 - 4 . a . c < 0 \rightarrow f (x) > 0 \lor f (x) < 0)\)
Com base nas proposições apresentadas, tem valor lógico verdadeiro a proposição composta
- \(\sim p \lor \sim q \lor \sim r\)
- \(p \land \sim q\)
- \(\sim p \land r\)
- \(q \veebar r\)
- \(p \land q \land r\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A proposição correta é a conjunção p ∧ q ∧ r, pois cada componente é verdadeira para qualquer função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\) com \(a\neq0\).
Para \(p\) e \(q\) usamos o vértice: \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(f(x_v)=c-\dfrac{b^2}{4a}\). Se \(a>0\) a parábola tem mínimo, logo \(f(x)\ge c-\dfrac{b^2}{4a}\); se \(a<0\) tem máximo, então \(f(x)\le c-\dfrac{b^2}{4a}\).
Para \(r\) note que \(\Delta=b^2-4ac\). Se \(\Delta<0\) não há raízes reais, portanto \(f(x)\) nunca zera e, consequentemente, é sempre positiva ou sempre negativa para todo \(x\).
Como \(p\), \(q\) e \(r\) são verdadeiras, a conjunção \(p\land q\land r\) também é verdadeira.
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