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Questão FC219585

No livro A Rainha das Ciências, Garbi apresenta, no capítulo XXII, a importância de Boole, Cantor e Dedekind no desenvolvimento da simbologia em Matemática. Boole, por exemplo, con

Lógica de Proposições

VUNESP · 2025

No livro A Rainha das Ciências, Garbi apresenta, no capítulo XXII, a importância de Boole, Cantor e Dedekind no desenvolvimento da simbologia em Matemática.

 

Boole, por exemplo, converteu termos da Lógica Clássica em termos da Álgebra dos Conjuntos, e algumas dessas conversões são:

 

Lógica Clássica

Operações de Conjuntos

Ou A ou B

A + B

Todo A é B

 A \(\subset\) B
 

Com as conversões que fez, segundo Garbi, Boole conseguiu fazer a demonstração da famosa afirmação “Todos os homens (H) são mortais (M). Sócrates (S) é um homem. Portanto, Sócrates é mortal.”

 

Analise os passos para a demonstração dessa afirmação, apresentados na tabela a seguir:

 

Passo 1

H ⊂ M, portanto H + M = M (1)

Passo 2

S ⊂ H, portanto S + H = H

Passo 3

Como H = S + H, tem-se, de (1),
que S + H + M = M (2)

Passo 4

Como H + M = M, tem-se,
de (2), que S + M = M

Conclusão

S ⊂ M
 

É correto afirmar que

  1. o passo 3 está incorreto, o que invalida o restante da demonstração.
  2. o passo 2 está incorreto, o que invalida o restante da demonstração.
  3. o passo 4 está incorreto, o que invalida a conclusão da demonstração.
  4. o passo 1 está incorreto, o que invalida o restante da demonstração.
  5. todos os passos estão corretos, fazendo com que a conclusão seja válida.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A alternativa está correta: todos os passos são válidos e a conclusão é lógica.

Boole traduz a sentença universal em relação de subconjunto: “Todo A é B” vira \(A\subset B\), e na álgebra de conjuntos isso equivale a \(A+B=B\) (onde \(+\) é a união). Assim, de \(H\subset M\) segue \(H+M=M\) (Passo 1), e de \(S\subset H\) segue \(S+H=H\) (Passo 2).

Usando a associatividade (e comutatividade) da união temos \((S+H)+M=S+(H+M)\). Substituindo \(H+M=M\) obtemos \(S+(H+M)=S+M\), logo \((S+H)+M=S+M\). Como \((S+H)+M=M\) pela (1) e pelo Passo 3, segue \(S+M=M\) (Passo 4).

Por fim, \(S+M=M\) é equivalente a \(S\subset M\). Portanto a dedução “Sócrates é mortal” é correta e formalmente justificada.

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