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Questão FC219598

Um professor precisa de um pedaço de cartolina no formato de quadrado para fazer a planificação de uma pirâmide reta com base também no formato de quadrado, com arestas de base med

Planificação de Sólidos. Projeções de Objetos Tridimensionais

VUNESP · 2025

Um professor precisa de um pedaço de cartolina no formato de quadrado para fazer a planificação de uma pirâmide reta com base também no formato de quadrado, com arestas de base medindo 16 cm e volume equivalente ao volume de um prisma reto, de mesma base e altura de 2 cm.

 

Se nessa planificação as arestas de base da pirâmide têm que ser paralelas aos lados do pedaço quadrado de cartolina e não pode haver remendo, então o perímetro mínimo do pedaço de cartolina que é necessário deve ser de

  1. 144 cm.
  2. 169 cm.
  3. 148 cm.
  4. 121 cm.
  5. 140 cm.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A base é quadrada de aresta 16 cm, então a área da base é \(A_b=16^2=256\).

O volume do prisma de mesma base e altura 2 cm é \(V_{pr}=A_b\cdot 2=256\cdot2=512\). Como a pirâmide tem volume igual, vale \(V_p=\dfrac{A_b\cdot h}{3}=512\), logo \(h=\dfrac{3\cdot512}{256}=6\) cm. Altura da pirâmide: 6 cm.

O apótema da base (meia aresta) é \(Ap=\tfrac{16}{2}=8\) cm. A geratriz da face lateral é \(g=\sqrt{h^2+Ap^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) cm.

Na planificação sem remendo, com arestas da base paralelas aos lados do quadrado, o lado mínimo do pedaço de cartolina é \(l_c=g+a+g=10+16+10=36\) cm.

Portanto, o perímetro mínimo do quadrado necessário é \(4\cdot l_c=4\cdot36=144\) cm.

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