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Questão FC236949

Considere o enunciado a seguir para responder a questão. Uma sequência-N é uma sucessão composta pelos N primeiros números naturais diferentes de zero, não necessariamente em sua o

Outros Exercícios de Lógica

CESGRANRIO · 2011

Considere o enunciado a seguir para responder a questão.

 

Uma sequência-N é uma sucessão composta pelos N primeiros números naturais diferentes de zero, não necessariamente em sua ordem usual. Por exemplo, (3, 5, 4, 2, 1) é uma sequência-5, pois se trata de uma sucessão composta pelos 5 primeiros números naturais.

 

Nessa sequência:

3 é o 1º termo;

5 é o 2º termo;

4 é o 3º termo;

2 é o 4º termo;

1 é o 5º termo.

 

Ao ler uma sequência-N do primeiro ao último termo, cada vez que um termo é menor do que o precedente, afirma-se que há uma inversão. Por exemplo, a sequência-4 (2, 1, 3, 4) apresenta uma única inversão, e a sequência-4 (2, 1, 4, 3) apresenta 2 inversões.

 

Analise as afirmativas abaixo a respeito das sequências- 100 e de suas possíveis inversões.

 

I - De todas as sequências-100, somente uma não apresenta inversão.

II - Existe uma única sequência-100 que apresenta 100 inversões.

III - Uma sequência-100 na qual os números pares ocupam as 50 primeiras posições possui pelo menos uma inversão.

 

É correto o que se afirma em

  1. I, apenas.
  2. II, apenas.
  3. III, apenas.
  4. I e III, apenas.
  5. I, II e III.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Afirmativa I: a única sequência-100 sem inversão é a ordem estritamente crescente \( (1,2,\dots,100) \). Se não houver nenhuma ocorrência de um termo menor que o anterior, a sucessão é monotonicamente crescente; entre as permutações dos números \(1\) a \(100\) só essa ordem satisfaz tal propriedade. Logo, existe apenas uma sequência sem inversões.

Afirmativa III: suponha, por absurdo, que não haja inversão. Então a sequência seria \( (1,2,\dots,100) \), cujo bloco inicial de 50 termos é \(1,2,\dots,50\), que contém números ímpares; isso contradiz a hipótese de que as 50 primeiras posições são todos os pares. Portanto qualquer sequência com os pares ocupando as 50 primeiras posições difere da única sem inversões e, assim, possui pelo menos uma inversão.

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