Qual operador lógico completa a lacuna abaixo de modo que as expressões “p ▢ ~ (p \(\land\) q)” e “(p \(\land\) q) \(\to\) (p \(\leftrightarrow\) q)” possuam o mesmo valor lógico?

Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa correta é a disjunção \( \lor \). Basta mostrar que ambas as fórmulas são tautologias, isto é, verdadeiras em todas as valorações.

Primeiro, simplifique \(p \lor \neg(p\land q)\): usando De Morgan, \(p \lor (\neg p \lor \neg q)\). Pela associatividade e comutatividade, \((p\lor\neg p)\lor\neg q\). Como \(p\lor\neg p\) é sempre verdadeira, a expressão é verdadeira para qualquer \(q\).

Agora, \( (p\land q)\to(p\leftrightarrow q)\) é equivalente a \(\neg(p\land q)\lor(p\leftrightarrow q)\). Se \(p\land q\) é verdadeiro então \(p\) e \(q\) são verdadeiros, logo \(p\leftrightarrow q\) é verdadeiro; se \(p\land q\) é falso, a disjunção é verdadeira. Assim também é uma tautologia.

Portanto, \(p\lor\neg(p\land q)\) e \((p\land q)\to(p\leftrightarrow q)\) têm o mesmo valor lógico em todas as valorações, justificando o conectivo \( \lor\).