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Questão FC262432

A sequência \(A\) está definida por \(a_1 = 1, a_2 = 2 \ e \ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\). A sequência \(B\) é obtida por uma reordenação dos elementos da sequência \(A\). Seja a expr

Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras

IDECAN · 2021

A sequência \(A\) está definida por \(a_1 = 1, a_2 = 2 \ e \ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\). A sequência \(B\) é obtida por uma reordenação dos elementos da sequência \(A\). Seja a expressão \(E = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3 b_3 + ... + a_{10}b_{10}\). A diferença entre os valores máximo e mínimo da expressão \(E\), é dada por:

  1. \(\sum^5_{n = 1} (a_{(11-n)} - a_n)^2\)
  2. \(\sum^5_{n = 1} (a_{(11-n)} - a_n)\)
  3. \(a^2_{11}\)
  4. \(2a_{11}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

A questão se resolve aplicando a Desigualdade do rearranjo: para duas sequências, a soma dos produtos é máxima quando estão na mesma ordem e mínima quando uma é a ordem inversa da outra.

Assim, o máximo ocorre quando \(b_i=a_i\) para todo \(i\), dando \(E_{máx}=\sum_{i=1}^{10}a_i^2\). O mínimo ocorre quando \(b_i=a_{11-i}\), resultando em \(E_{min}=2\sum_{n=1}^{5}a_n a_{11-n}\).

Logo, a diferença é \(E_{máx}-E_{min}=\sum_{i=1}^{10}a_i^2-2\sum_{n=1}^{5}a_n a_{11-n}\). Agrupando termos por pares obtemos cinco quadrados notáveis: \(=\sum_{n=1}^{5}\big(a_{11-n}^2+a_n^2-2a_n a_{11-n}\big)=\sum_{n=1}^{5}(a_{11-n}-a_n)^2\), que é exatamente a expressão da alternativa correta.

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