A sequência de números naturais que se vê a seguir foi construída de forma que cada número natural \(n\) foi escrito \(n\) vezes 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6... P

Gabarito

B

Comentário do professor

Na sequência cada inteiro \(n\) aparece \(n\) vezes, logo a última posição ocupada por \(n\) é o número triangular \(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

Calculando, \(T_{44}=\dfrac{44\cdot45}{2}=990\) e \(T_{45}=1035\). Como \(990<1000\le1035\), o termo de ordem 1000 é \(45\) e restaram \(1000-990=10\) ocorrências de \(45\).

Assim a soma dos 1000 primeiros termos é a soma dos quadrados de \(1\) a \(44\) mais 10 cópias de \(45\): \(S=\sum_{k=1}^{44}k^2+10\cdot45\).

Usando a fórmula \(\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) para \(n=44\):\newline \(S=\dfrac{44\cdot45\cdot89}{6}+450=\;29\,370+450=29\,820.\)

Portanto, \(S=29\,820\), ou seja, \(29\,000