A partir da soma S = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 111...1 em que o último termo é formado por “n” algarismos “1”, assinale a alternativa que contém o resultado correto de S.

Gabarito

A

Comentário do professor

O procedimento parte de representar cada termo composto por apenas algarismos 1. O k-ésimo termo pode ser escrito como \( \dfrac{10^k-1}{9} \), pois é a repetição de 1 em k posições.

Assim, a soma \( \mathsf{S} \) fica \( \mathsf{S}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{10^k-1}{9}=\dfrac{1}{9}\Big(\sum_{k=1}^{n}10^k - n\Big)\).

Reconhecendo a soma geométrica, temos \( \sum_{k=1}^{n}10^k = 10\frac{10^n-1}{9} = \dfrac{10^{\,n+1}-10}{9} \).

Substituindo na expressão de \( \mathsf{S} \) obtemos
\( \displaystyle \mathsf{S}=\dfrac{1}{9}\Big(\dfrac{10^{\,n+1}-10}{9}-n\Big)\), que é exatamente a fórmula apresentada.

Como verificação rápida, para \(n=1\) a expressão resulta em \(1\), confirmando coerência com o caso básico.