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Questão FC299884

Sejam P, Q e R proposições lógicas simples que compõem a seguinte estrutura proposicional: (P ⨀ ¬ P) \(∧\) [Q → (Q ⨂ R)] em que ⨀ e ⨂ representam conectivos lógicos ocultos e ¬ P r

Lógica de Proposições

FGV · 2025

Sejam P, Q e R proposições lógicas simples que compõem a seguinte estrutura proposicional: 

 

(P ⨀ ¬ P) \(∧\) [Q → (Q ⨂ R)] 

 

em que ⨀ e ⨂ representam conectivos lógicos ocultos e ¬ P representa a negação de P. 

 

Sabe-se que tal estrutura proposicional é uma tautologia, isto é, seu valor lógico é sempre verdadeiro quaisquer que sejam os valores lógicos individuais de P, Q e R. 

 

Os conectivos ocultados por ⨀ e ⨂ são, respectivamente,

  1. \(∨\) e \(∨\)
  2. \(∨\) e \(∧\)
  3. \(∧\) e \(∨\)
  4. → e \(∧\)
  5. → e \(∨\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Temos a estrutura \( (P \,\square_1\, \neg P)\ \land\ [Q \to (Q \,\square_2\, R)] \). Como a expressão é uma tautologia, cada conjunção precisa ser sempre verdadeira.

Na primeira parte, \(P\) e \(\neg P\) são sempre valores opostos; para que \( (P \,\square_1\, \neg P)\) seja verdadeira em todos os casos basta que o conectivo seja a disjunção, pois \(P \lor \neg P\) é a lei do terceiro excluído (sempre verdadeira). Assim, \(\square_1 = \lor\).

Na segunda parte, \(Q \to (Q \,\square_2\, R)\) só pode falhar quando \(Q\) é verdadeira e o consequente é falso. Para garantir verdade sempre que \(Q\) for verdadeira, é necessário que \(Q \,\square_2\, R\) seja verdadeiro independentemente de \(R\); isso acontece quando o conectivo é a disjunção, pois \( \text{V} \lor R = \text{V}\). Logo, \(\square_2 = \lor\).

Portanto, os conectivos ocultos são, respectivamente, \(\lor\) e \(\lor\).

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