Questão FC300059
A prefeitura de certo município formou com seus funcionários 3 comissões para examinar assuntos diferentes. Sabe-se que: • há funcionários que participam de mais de uma comissão. •
Lógica de Proposições
FGV · 2022
A prefeitura de certo município formou com seus funcionários 3 comissões para examinar assuntos diferentes.
Sabe-se que:
• há funcionários que participam de mais de uma comissão.
• cada comissão é formada por 15 funcionários.
• em cada comissão há 5 funcionários que não participam de mais nenhuma outra comissão.
• há 2 funcionários que participam das três comissões.
O número de funcionários que participam de, pelo menos, uma comissão é igual a
- 29.
- 31.
- 36.
- 39.
- 43.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Modelemos com um diagrama de Venn as 3 comissões. Em cada uma há 5 funcionários exclusivos e existe uma tripla interseção com 2 funcionários. Denotemos as interseções de duas comissões apenas por \(x,y,z\).
Como cada comissão tem 15 integrantes, para as três comissões obtemos: \(5+x+y+2=15\), \(5+x+z+2=15\) e \(5+y+z+2=15\).
Isso reduz ao sistema \(x+y=8\), \(x+z=8\), \(y+z=8\). Das duas primeiras equações segue \(y=z\); substituindo em \(y+z=8\) vem \(2y=8\), assim \(y=z=4\) e, por consequência, \(x=4\).
Portanto, o total de funcionários distintos é \(3\cdot5+3\cdot4+2=15+12+2=29\). Logo, a resposta correta é 29.
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