Considere a sequência numérica definida por \(\begin{cases} \quad \quad \quad \quad a_1 = 200 \\ a_n = 200 + 1,2 \times a_{n - 1}, n \ge 2 \end{cases}\) Considerando-se 1,221 = 46,

Gabarito

A

Comentário do professor

Da recorrência \(a_n=200+1{,}2\,a_{n-1}\) obtém-se, ao desenvolver os primeiros termos, que cada \(a_n\) é a soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 200 e razão \(q=1{,}2\).

Assim \(a_n=200\,(1+1{,}2+\cdots+1{,}2^{\,n-1})\). Aplicando a fórmula da soma da PG,

\(a_n=200\cdot\displaystyle\frac{1{,}2^{\,n}-1}{1{,}2-1}\).

Para \(n=21\) e usando \(1{,}2^{21}=46\), vem

\(a_{21}=200\cdot\displaystyle\frac{46-1}{0{,}2}=200\cdot\frac{45}{0{,}2}\).

Calculando: \(200\cdot45=9.000\) e \(9.000\div0{,}2=45.000\). Assim, \( \mathbf{a_{21}=45.000} \).