Considere a sequência de números reais definida pela seguinte relação de recorrência: \(a_{n+1}=\dfrac {a_1+a_2+a_3 + ... a_n}n \,\, \mbox{para}\, \, n \ge 3\\\,\\a_1 = 3-\sqrt{3}-

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Calcule \(a_4\): como \(a_4=\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}\) e \(a_1+a_2+a_3=(3-\sqrt3-\sqrt2)+\sqrt2+\sqrt3=3\), segue que a_4=1.

Mostraremos por indução que todos os termos a partir de \(a_4\) são iguais a 1. Suponha que \(a_4=a_5=\dots=a_n=1\) para algum \(n\ge4\). Então a soma dos primeiros \(n\) termos é \(a_1+a_2+a_3+(n-3)\cdot1=3+(n-3)=n\).

Assim \(a_{n+1}=\dfrac{\text{soma dos }n\text{ primeiros}}{n}=\dfrac{n}{n}=1\). Pelo princípio da indução, a sequência é constante e igual a 1 a partir de \(a_4\).

Logo, \(a_{13}=1\) e \(a_{31}=1\), portanto \(a_{13}=a_{31}\).