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Questão FC300314

Considere 4 cidades distintas C1, C2, C3 e C4. Entre quaisquer duas dessas cidades, há um único caminho que as conecta, exceto entre as cidades C2 e C4, entre as quais não há camin

Orientação no Plano, no Espaço e no Tempo

FGV · 2024

Considere 4 cidades distintas C1, C2, C3 e C4. Entre quaisquer duas dessas cidades, há um único caminho que as conecta, exceto entre as cidades C2 e C4, entre as quais não há caminho. Assim, ao todo, são 5 caminhos: um que conecta C1 e C2, um que conecta C1 e C3, um que conecta C1 e C4, um que conecta C2 e C3 e um que conecta C3 e C4.

 

Utilizando-se apenas esses caminhos, é possível fazer um passeio que começa e termina em uma dessas 4 cidades. Nada impede que um passeio passe mais de uma vez por uma mesma cidade.

 

O tamanho do passeio é dado pelo número de caminhos percorridos desde a cidade de origem até a cidade de destino.

 

A quantidade de passeios distintos de tamanho 3 que começam na cidade C1 e terminam na cidade C4 é

  1. 3.
  2. 4.
  3. 5.
  4. 6.
  5. 7.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Queremos contar os passeios de tamanho 3 (três arestas) que saem de \(C_1\) e chegam a \(C_4\). As adjacências são: \(C_1:\{C_2,C_3,C_4\}\), \(C_2:\{C_1,C_3\}\), \(C_3:\{C_1,C_2,C_4\}\), \(C_4:\{C_1,C_3\}\).

Tomando o segundo vértice \(A\) após \(C_1\):

- Se \(A=C_2\), o terceiro vértice pode ser \(C_1\) ou \(C_3\), ambos ligados a \(C_4\), gerando \(C_1-C_2-C_1-C_4\) e \(C_1-C_2-C_3-C_4\) (2 passeios).

- Se \(A=C_3\), só \(C_1\) leva depois a \(C_4\), gerando \(C_1-C_3-C_1-C_4\) (1 passeio).

- Se \(A=C_4\), os próximos podem ser \(C_1\) ou \(C_3\), gerando \(C_1-C_4-C_1-C_4\) e \(C_1-C_4-C_3-C_4\) (2 passeios).

Somando: \(2+1+2=5\). Logo, há 5 passeios.

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