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Questão FC300334

Com 27 cubos unitários, 1 x 1 x 1, pode-se formar um cubo maior, 3 x 3 x 3, colando-se faces dos cubos unitários, conforme sugerido na figura. Esse cubo maior pode ser manipulado d

Orientação no Plano, no Espaço e no Tempo

FGV · 2023

Com 27 cubos unitários, 1 x 1 x 1, pode-se formar um cubo maior, 3 x 3 x 3, colando-se faces dos cubos unitários, conforme sugerido na figura. Esse cubo maior pode ser manipulado de modo a poder observar toda a sua superfície externa.

 

 

Imagine que se tenha 13 cubos unitários brancos e 14 vermelhos para se formar o cubo maior, 3 x 3 x 3.

 

Na superfície externa desse cubo maior, o número máximo de quadradinhos vermelhos que se pode ter é

  1. 18.
  2. 27.
  3. 36.
  4. 48.
  5. 54.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

O cubo \(3\times3\times3\) tem no total \(6\) faces de \(3\times3\), logo \(6\times9=54\) quadradinhos visíveis na superfície externa.

Para maximizar quadradinhos vermelhos devemos minimizar os quadradinhos brancos visíveis. Há tipos de posições: centro interno (0 faces visíveis), centros das faces (1), arestas (2) e cantos (3).

Colocamos um cubinho branco no centro interno (0 faces). Em seguida, usamos os 6 centros das faces como brancos (cada um contribui com 1 face visível): isso é \(1+6=7\) brancos usados e gera \(6\) faces brancas visíveis.

Restam \(13-7=6\) cubinhos brancos; para minimizar visibilidade os colocamos em posições de aresta, cada uma com 2 faces visíveis, totalizando \(2\times6=12\) faces brancas extras.

Assim há \(6+12=18\) faces brancas visíveis. Restam \(54-18=36\) quadradinhos vermelhos visíveis.

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