Questão FC300417
Em uma urna X há 10 bolas azuis numeradas de 1 a 10. Em uma urna Z há 10 bolas vermelhas numeradas com os 10 primeiros números ímpares positivos: 1, 3, 5, ..., 19. Transferem-se, a
Princípio da Casa dos Pombos
FGV · 2022
Em uma urna X há 10 bolas azuis numeradas de 1 a 10. Em uma urna Z há 10 bolas vermelhas numeradas com os 10 primeiros números ímpares positivos: 1, 3, 5, ..., 19.
Transferem-se, aleatoriamente, 5 bolas da urna X para a urna Z. A seguir, também aleatoriamente, 5 bolas são transferidas da urna Z para a urna X.
Ao final, é correto concluir que na urna X
- há mais bolas com número ímpar do que com número par.
- há, no máximo, 5 bolas com números ímpares.
- há mais bolas azuis do que vermelhas.
- há, no mínimo, 5 bolas com números ímpares.
- há 5 bolas vermelhas e 5 azuis.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Na urna X inicialmente há 10 bolas numeradas de 1 a 10, logo 5 são ímpares e 5 são pares. A urna Z tem 10 bolas, todas com números ímpares.
Seja \(k\) o número de bolas ímpares transferidas de X para Z no primeiro movimento (0 ≤ \(k\) ≤ 5). Após essa transferência, X fica com \(5-k\) ímpares e \(k\) pares; Z passa a ter \(10+k\) ímpares e \(5-k\) pares.
Ao devolver 5 bolas de Z para X, Z só tem \((5-k)\) pares disponíveis, então devolverá no máximo esses pares. Assim o número mínimo de ímpares retornados é \(5-(5-k)=k\). Portanto o total de ímpares em X ao final é \((5-k)+k=5\).
Logo, há, no mínimo (e de fato exatamente 5), 5 bolas ímpares na urna X.
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