Um saco contém bolas brancas, vermelhas, azuis e pretas, sendo 5 de cada cor. Antônio retirou no escuro certa quantidade de bolas e disse: “Entre as bolas que retirei, há três da m

Gabarito

A

Comentário do professor

Para que a frase de Antônio seja necessariamente verdadeira, consideramos o pior caso: retirar o máximo possível de bolas sem atingir três de mesma cor.

Nesse cenário pegamos \b>2 de cada cor — isto é, 2 brancas, 2 vermelhas, 2 azuis e 2 pretas — totalizando 8 bolas, e ainda sem ter três de nenhuma cor. Observe que há 5 bolas de cada cor, portanto essa retirada é possível.

Ao retirar a próxima bola (a de número 9), obrigatoriamente haverá uma cor com pelo menos três bolas. Isso decorre do princípio das gavetas: para garantir \(k\) itens numa de \(n\) categorias, precisa-se de \((k-1)\cdot n + 1\). Aqui, \(k=3\) e \(n=4\), então \((3-1)\cdot4+1=9\).