Questão FC300444
Em uma caixa há doze dúzias de laranjas, sobre as quais sabe-se que: I - há pelo menos duas laranjas estragadas; II - dadas seis quaisquer dessas laranjas, há pelo menos duas não e
Princípio da Casa dos Pombos
FGV · 2016
Em uma caixa há doze dúzias de laranjas, sobre as quais sabe-se que:
I - há pelo menos duas laranjas estragadas;
II - dadas seis quaisquer dessas laranjas, há pelo menos duas não estragadas.
Sobre essas doze dúzias de laranjas, deduz-se que:
- pelo menos 96 estão estragadas;
- no mínimo 140 não estão estragadas;
- exatamente duas estão estragadas;
- no máximo 96 estão estragadas;
- exatamente 48 não estão estragadas.
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Gabarito
B
Comentário do professor
O total de laranjas é \(12\times12=144\).
A informação II diz que em qualquer conjunto de 6 há pelo menos 2 não estragadas. Se houvesse 5 ou mais laranjas estragadas, poderíamos escolher essas 5 estragadas mais qualquer outra laranja e obter um conjunto de 6 com no máximo 1 não estragada, o que é contraditório.
Portanto o número de estragadas é, no máximo, 4. Chamando de \(b\) as estragadas e de \(g\) as boas, \(g=144-b\).
Tomando o maior valor possível para \(b\) (isto é, 4) obtemos o menor número de boas: \(g_{\min}=144-4=140\). Logo, há no mínimo 140 não estragadas.
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