Carlos considera que um número é agradável quando a soma dos seus algarismos é 7 ou múltiplo de 7. Por exemplo, o ano de 2005 foi agradável pois 2 + 0 + 0 + 5 = 7, e o de 2039 será

Gabarito

Errado

Comentário do professor

O século XX vai de 1901 a 2000. Para 1901–1999 os dois primeiros algarismos são 1 e 9, cuja soma é \(1+9=10\).

Queremos restos \(10+s\) múltiplo de 7, ou seja \(10+s\equiv0\pmod7\). Assim \(s\equiv4\pmod7\) e, para a soma dos dois últimos dígitos, as possibilidades são \(s=4,\,11,\,18\).

Contagem de pares de dígitos (tens, unidades) com soma fixa: para \(s=4\) há 5 soluções (anos 1904,1913,1922,1931,1940); para \(s=11\) há 8 soluções (1929 a 1992, de 9 em 9 anos); para \(s=18\) há 1 solução (1999).

Somando: \(5+8+1=14\). O ano 2000 tem soma \(2+0+0+0=2\), não é agradável. Logo, existem 14 anos agradáveis no século XX.