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Questão FC364743

Na lógica proposicional, a tautologia é um fenômeno que pode ser observado na construção de proposições compostas. Considere as seguintes proposições compostas obtidas a partir das

Lógica de Proposições

Instituto Consulplan · 2024

Na lógica proposicional, a tautologia é um fenômeno que pode ser observado na construção de proposições compostas. Considere as seguintes proposições compostas obtidas a partir das proposições simples P e Q:

 

R = \(¬\) [ P ∨ (\(¬\)Q) ] \(↔\) [ (\(¬\) P) \(∧\) Q]

S = [ P \(→\) Q ] \(↔\) [ Q \(∨\) (\(¬\) P) ]

 

Sobre as proposições compostas R e S, pode-se afirmar, corretamente, que:

  1. Ambas as proposições compostas são tautologias.
  2. Somente a proposição composta S é uma tautologia.
  3. Somente a proposição composta R é uma tautologia.
  4. Nenhuma das proposições compostas é uma tautologia.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Tautologia: proposição composta que é verdadeira para todas as combinações de valores das proposições simples.

Para \(R\): observe que, por De Morgan, \(¬[P\lor(¬Q)]\) é logicamente equivalente a \((¬P)\land Q\). Assim o bicondicional \(¬[P\lor(¬Q)]\leftrightarrow((¬P)\land Q)\) põe duas fórmulas idênticas em lados opostos; sendo equivalentes em todas as valorações, o bicondicional é sempre verdadeiro, logo uma tautologia.

Para \(S\): lembrando a equivalência da implicação, \(P\to Q\) é equivalente a \(¬P\lor Q\). O outro membro é \(Q\lor(¬P)\), que é a mesma fórmula por comutatividade da disjunção. Portanto \([P\to Q]\leftrightarrow[Q\lor(¬P)]\) também é sempre verdadeiro, isto é, uma tautologia.

Conclusão: ambas as proposições \(R\) e \(S\) são tautologias.

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