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Questão FC41905

Considere as afirmações: I. Se o diretor é forte, então o secretário é fraco ou o diretor é forte. II. João é alto ou Paulo é gordo e João não é alto e Paulo não é gordo. III. Carl

Lógica de Proposições

VUNESP · 2019

Considere as afirmações:

I. Se o diretor é forte, então o secretário é fraco ou o diretor é forte.
II. João é alto ou Paulo é gordo e João não é alto e Paulo não é gordo.
III. Carlos não é tímido e, se Pedro é expansivo, então Carlos é tímido.

Na ordem em que estão expressas, as afirmações são, respectivamente, uma
  1. tautologia, contradição e contingência.

  2. contingência, contradição e tautologia.

  3. contradição, tautologia e contingência.

  4. contingência, tautologia e contradição.

  5. tautologia, contingência e contradição.

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Gabarito

A

Comentário do professor

Item I: representando \(d\) = "diretor é forte" e \(s\) = "secretário é fraco", a fórmula é \(d \to (s \vee d)\). Aplicando equivalências temos \(d \to (s \vee d)\equiv \neg d \vee s \vee d\equiv(\neg d \vee d)\vee s\), e como \((\neg d \vee d)\) é sempre verdadeiro, toda a expressão é verdadeira em qualquer valoração. Logo é uma tautologia.

Item II: com \(j\) = "João é alto" e \(p\) = "Paulo é gordo", a leitura adequada é \((j \vee p)\land(\neg j \land \neg p)\). A segunda conjunção nega ambas as alternativas da primeira, portanto a conjunção exige ao mesmo tempo \(j\) verdadeiro e \(j\) falso, ou \(p\) verdadeiro e \(p\) falso, o que é impossível. Assim a fórmula é sempre falsa, uma contradição.

Item III: com \(c\) = "Carlos é tímido" e \(p\) como acima, temos \(\neg c \land (p \to c)\). Como \(p \to c\equiv \neg p \vee c\), a expressão vira \(\neg c \land(\neg p \vee c)\equiv(\neg c\land\neg p)\vee(\neg c\land c)\equiv\neg c\land\neg p\). Esse resultado depende dos valores de \(c\) e \(p\), portanto é uma contingência.

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