Se a soma dos 99 primeiros termos da sequência \(k\), \({\large{k^2+1 \over k}}\), \({\large{k^2+2 \over k}}\), \({\large{k^2+3 \over k}}\), ... é igual a 1386, então o valor de \(

Gabarito

A

Comentário do professor

Observe os termos: \(a_1=k\), \(a_2=\dfrac{k^2+1}{k}\), \(a_3=\dfrac{k^2+2}{k}\), ... . Calcule a diferença entre termos consecutivos:

\(a_2-a_1=\dfrac{k^2+1}{k}-k=\dfrac{1}{k}\) e \(a_3-a_2=\dfrac{k^2+2}{k}-\dfrac{k^2+1}{k}=\dfrac{1}{k}\).

Como as diferenças são iguais, trata-se de uma PA de razão \(\dfrac{1}{k}\). O 99.º termo é \(a_{99}=\dfrac{k^2+98}{k}\).

A soma dos 99 primeiros termos é \(S_{99}=\dfrac{(a_1+a_{99})\cdot99}{2}=1386\). Substituindo,

\(\dfrac{99}{2}\cdot\left(\dfrac{2k^2+98}{k}\right)=1386\Rightarrow \dfrac{2k^2+98}{k}=28.\)

Isso leva a \(2k^2-28k+98=0\), ou \(k^2-14k+49=0\), que é \((k-7)^2=0\). Portanto, k = 7.