Questão FC626391
Considere a seguintes sequência de frações: \({ \large 1 \over 2} + { \large 3 \over 4} + { \large 5 \over 6} + { \large 7 \over 8} + ... + { \large 2n+1 \over 2(n+1)}\) Sobre essa
Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
NC UFPR (FUNPAR) · 2019
Considere a seguintes sequência de frações: \({ \large 1 \over 2} + { \large 3 \over 4} + { \large 5 \over 6} + { \large 7 \over 8} + ... + { \large 2n+1 \over 2(n+1)}\)
Sobre essa sequência, avalie as afirmativas abaixo:
1. A sequência acima possui exatamente n+1 frações.
2. Cada uma dessas frações é menor que 1.
3. A soma de todas essas frações é menor que n+1.
Assinale a alternativa correta.
- Somente a afirmativa 1 é verdadeira.
- Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
- Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
- As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Considere o termo geral \(a_k=\frac{2k+1}{2(k+1)}\) com \(k=0,1,\dots,n\).
Item 1: os índices vão de 0 até \(n\), portanto há exatamente \(n+1\) termos na soma.
Item 2: escrevendo \(a_k=1-\frac{1}{2(k+1)}\) vê‑se que \(\frac{1}{2(k+1)}>0\), logo \(a_k<1\) para todo \(k\).
Item 3: como cada termo é menor que 1 e são \(n+1\) termos, a soma satisfaz \(\sum_{k=0}^{n}a_k<(n+1)\cdot1=n+1\). Alternativamente, pela forma \(a_k=1-\frac{1}{2(k+1)}\) a soma é \((n+1)-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2(k+1)}\), que é estritamente menor que \(n+1\).
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