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Questão FC626396

Mariana pinta todas as faces de um cubinho, depois constrói um cubo maior com outros 8 cubinhos e pinta todas as faces do cubo assim formado. Faz o mesmo com um cubo feito com 27 c

Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras

NC UFPR (FUNPAR) · 2019

Mariana pinta todas as faces de um cubinho, depois constrói um cubo maior com outros 8 cubinhos e pinta todas as faces do cubo assim formado. Faz o mesmo com um cubo feito com 27 cubinhos e assim por diante. Dessa forma, obtém a seguinte sequência de cubos:

Considere que a sequência continua até o cubo n. O número de cubinhos que possui apenas uma face pintada nesse cubo pode ser calculado pela fórmula:

  1. 6.(n - 2)2.
  2. 6.(n - 2).
  3. 6.n - 2.
  4. 6.(n - 1).
  5. 6.(n - 1)2.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Para contar os cubinhos com uma face pintada no cubo de ordem \(n\), observe cada face externa: é uma grade \(n\times n\) de pequenos cubos.

Os cubinhos que têm apenas aquela face pintada são os do interior da face, ou seja, excluindo a borda de largura 1 (arestas e vértices). Assim, em cada face restam \((n-2)\times(n-2) = (n-2)^2\) cubinhos centrais.

Como o cubo tem 6 faces e o padrão se repete em todas elas, multiplicamos por 6 e obtemos \(6\cdot (n-2)^2\) cubinhos com exatamente uma face pintada.

Observação curta: essa contagem vale para \(n\ge 3\), pois para \(n<3\) não há cubinhos centrais nas faces.

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