Questão FC670543
Um número n de amigos, entre eles Gael, estava brincando em um círculo. Eles posicionaram em um círculo, numerados de 1 a n, e um dos amigos escolheu um número k. Eles começaram a
Outros Exercícios de Lógica
QUADRIX · 2025
Um número n de amigos, entre eles Gael, estava brincando em um círculo. Eles posicionaram em um círculo, numerados de 1 a n, e um dos amigos escolheu um número k. Eles começaram a contar no sentido horário e, a cada k‑ésima pessoa, essa pessoa era eliminada. O jogo continuou até que apenas uma pessoa restasse, o vencedor.
Por exemplo, se n = 5 e k = 3, o jogo começaria com Gael e seus amigos nas posições 1 a 5. Eles iniciaram a contagem a partir da posição 1 e eliminaram a pessoa da posição 3. Depois, a contagem seguia a partir da posição 4, e a pessoa da posição 1 foi eliminada. A contagem continuou e eliminou a pessoa da posição 5. Em seguida, a contagem começou na posição 2 e eliminou a pessoa da posição 4. Por fim, a pessoa da posição 2 foi a vencedora.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se n = 12 e k = 6, a posição que Gael deveria ocupar para ser o vencedor seria a posição 3.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Contexto: trata‑se do problema de Josephus. A posição do vencedor pode ser obtida pela recorrência \(J(1)=0\) e \(J(n)=(J(n-1)+k)\bmod n\); a posição final em numeração de 1 a n é \(J(n)+1\).
Aplicando com \(k=6\): \(J_1=0\). Iterando: \(J_2=0,\;J_3=0,\;J_4=2,\;J_5=3,\;J_6=3,\;J_7=2,\;J_8=0,\;J_9=6,\;J_{10}=2,\;J_{11}=8,\;J_{12}=2\).
Assim \(J_{12}=2\), logo a posição vencedora é \(J_{12}+1=3\). Como verificação direta, a ordem de eliminações é: 6 → 12 → 7 → 2 → 10 → 8 → 5 → 9 → 1 → 11 → 4, restando a posição 3.
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