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Questão FC829133

A arqueóloga Michelle estuda uma civilização antiga que usava a sequência de números \(S_n\) para medir o tempo: (1, 2, 6, 24, 120,...). Ela percebe que essa sequência não é aritmé

Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras

SELECON · 2025

A arqueóloga Michelle estuda uma civilização antiga que usava a sequência de números \(S_n\) para medir o tempo: (1, 2, 6, 24, 120,...). Ela percebe que essa sequência não é aritmética nem geométrica, mas é definida por uma relação de recorrência complexa.

 

Se a sequência for definida pela relação \(S_n \, = \, n \, \cdot \, S_{n - 1}\) para \(n \, \ge \, 2,\) e \(S_1 \, = \, 1,\) o valor do 8º termo \(S_8\) é igual a:

  1. 5.040
  2. 6.720
  3. 10.080
  4. 40.320
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Gabarito

D

Comentário do professor

A relação \(S_n = n\cdot S_{n-1}\) com \(S_1=1\) caracteriza a sequência dos fatoriais. Observando os primeiros termos fica evidente que \(S_1=1!,\ S_2=2!,\ S_3=3!\), etc.

Por indução, vê-se que \(S_n = n!\) para todo \(n\ge1\): a base \(S_1=1!\) é verdadeira e, se \(S_{k} = k!\), então \(S_{k+1}=(k+1)S_k=(k+1)k!=(k+1)!\).

Assim, o 8º termo é \(S_8 = 8!\).

Calculando: \(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40.320\).
Resposta: 40.320

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