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- FC908311
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- Órgãos: Pref Petrolina - Prefeitura Municipal de Petrolina - Cargos: Professor (Pref Petrolina) · IAUPE · 2026
Se a medida da área do quadrado é \(S\) centímetros quadrados, qual a medida da área da região pintada na figura, em centímetros quadrados?
No quadrado ABCD, construíram-se dois setores circulares: um setor circular centrado em A e com raio AB e um setor circular centrado em C e com raio CD. A interseção entre esses dois setores circulares é a região pintada na figura.
Se a medida da área do quadrado é \(S\) centímetros quadrados, qual a medida da área da região pintada na figura, em centímetros quadrados?
- \(\frac{S(\pi - 4)}{4}\)
- \(\frac{S(\pi - 4)}{2}\)
- \(\frac{S(\pi - 2)}{4}\)
- \(\frac{S(\pi - 2)}{2}\)
- \(\frac{S(\pi - 1)}{2}\)
Gabarito
Gabarito: D
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Comentário do professor
Seja o lado do quadrado \(a\). Como a área é \(S\), temos \(a^2=S\).
O setor centrado em A é o quarto de círculo de raio \(a\) no primeiro quadrante, e o de C é o quarto de círculo de mesmo raio no quadrante oposto. A região pintada é a interseção desses dois círculos de raio \(a\) cujos centros estão em A e C.
A distância entre os centros é \(d=AC=a\sqrt{2}\). Para dois círculos iguais, o ângulo central da lente vale \(\theta=2\arccos\!\big(\tfrac{d}{2a}\big)=2\arccos\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=\tfrac{\pi}{2}\).
A área de interseção é \(a^2(\theta-\sin\theta)=a^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}-1\right)\). Substituindo \(a^2=S\) obtém‑se \(\displaystyle S\!\left(\tfrac{\pi}{2}-1\right)=\frac{S(\pi-2)}{2}\), que é a resposta.