Considere a sequência 3, 6, 36, 12, 15, 90, 30, 33, …. O 100º termo dessa sequência é

Gabarito

D

Comentário do professor

Observe o padrão em blocos de três termos: \(3\to 6\to 36\to 12\) e depois \(12\to 15\to 90\to 30\). Ou seja, cada tripla faz: +3, ×6, ÷3.

Logo, os termos de interesse formam a subsequência dos 1.º, 4.º, 7.º,... termos: \(3,12,30,66,\dots\).

Essa subsequência satisfaz a recorrência \(b_{n+1}=2b_n+6\) (ex.: \(12=2\cdot3+6\)).

Resolvendo por recorrência ou observação, obtemos a fórmula fechada para o \(n\)-ésimo termo dessa subsequência: \(b_n=3\cdot2^{\,n-1}+6\cdot(2^{\,n-1}-1)\).

O termo pedido é o 100.º da sequência original. Como os termos desta subsequência aparecem a cada 3 posições, temos \(n=(100-1)/3+1=34\).

Assim, o 100.º termo é \(b_{34}=3\cdot2^{33}+6\cdot(2^{33}-1)\), que corresponde à alternativa indicada.