Questão FC372551
Em 1655, o matemático John Wallis desenvolveu uma série infinita para o cálculo de \({ \Large { \pi \over 2}}\), conforme mostra a fórmula abaixo. \({ \Large { \pi \over 2}} = { \L
Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
FCC · 2019
Em 1655, o matemático John Wallis desenvolveu uma série infinita para o cálculo de \({ \Large { \pi \over 2}}\), conforme mostra a fórmula abaixo.
\({ \Large { \pi \over 2}} = { \Large { 2 \over 1}}.{ \Large {2 \over 3}}. { \Large { 4 \over 3}}. { \Large { 4 \over 5}}. { \Large { 6 \over 5}}. { \Large { 6 \over 7}}. { \Large { 8 \over 7}}. { \Large { 8 \over 9}}. { \Large {10 \over 9}}...\)
Com os termos desse produto infinito ordenados exatamente como na fórmula, a fração na 50ª posição é
\({ \Large { 51 \over 53}}\)
\({ \Large { 50 \over 49}}\)
\({ \Large { 26 \over 25}}\)
\({ \Large { 26 \over 27}}\)
\({ \Large { 50 \over 51}}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Observe que os termos de ordem par da sequência são \(\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7},\ldots\); em cada um deles o denominador é uma unidade maior que o numerador.
Os numeradores desses termos formam uma PA de primeiro termo \(a_1=2\) e razão \(r=2\): \(2,4,6,8,\ldots\).
O n-ésimo termo dessa PA é \(a_n=2+(n-1)\cdot2=2n\). Como a 50ª posição do produto é o 25º termo de ordem par, temos \(n=25\) e o numerador é \(2\cdot25=50\).
Portanto o denominador vale \(50+1=51\) e a fração na 50ª posição é \(\frac{50}{51}\).
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