Julgue o item que se segue, a respeito de lógica proposicional. Se P e Q forem proposições simples, então a proposição ¬[P ∨(¬Q)] ↔ [(¬P)∧Q] é uma tautologia.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário: A proposição dada é ¬[P ∨ (¬Q)] ↔ [(¬P) ∧ Q]. Para verificar se esta proposição é uma tautologia, devemos inicialmente simplificar os dois lados do bicondicional.

Começamos pela primeira parte: ¬[P ∨ (¬Q)]. Aqui, aplicamos a lei de De Morgan, que nos diz que a negação de uma disjunção se transforma em uma conjunção, negando ambos os componentes. Assim, temos:

¬[P ∨ (¬Q)] ≡ ¬P ∧ ¬(¬Q)

A simplificação de ¬(¬Q) resulta em Q. Portanto, a expressão se torna:

¬P ∧ Q

Agora, a proposição à direita do bicondicional, (¬P) ∧ Q, já está na forma simplificada. Assim, reescrevendo a proposição original, obtemos:

¬P ∧ Q ↔ ¬P ∧ Q

Esse bicondicional é sempre verdadeiro, pois estamos ligando uma proposição a ela mesma. Isso significa que em qualquer condição, seja P verdadeiro ou falso, e Q verdadeiro ou falso, a equivalência será sempre mantida. A expressão é, portanto, uma tautologia.

Para validar nossa interpretação de forma mais concreta, podemos construir uma tabela-verdade, onde exibimos os valores de P e Q e as respectivas saídas de ¬[P ∨ (¬Q)] e (¬P) ∧ Q:

Observamos que, para todas as combinações de P e Q, os resultados das colunas de ¬[P ∨ ¬Q] e (¬P) ∧ Q são idênticos. Logo, essa equivalência confirma que o bicondicional é sempre verdadeiro.

Portanto, podemos concluir que a proposição original ¬[P ∨ (¬Q)] ↔ [(¬P) ∧ Q] é, de fato, uma tautologia, e o gabarito está CERTO.