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Questão FC94327

A sequência infinita a0, a1, a2, a3, ... é definida por a0 = 1, a1 = 3 e, para cada número inteiro n ≥ 1, a2n = a2n−1 + a2n−2, e a2n+1 = a2n - a2n−1 Com relação a essa sequência, j

Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras

CEBRASPE (CESPE) · 2018

A sequência infinita a0, a1, a2, a3, ... é definida por a0 = 1, a1 = 3 e, para cada número inteiro n ≥ 1, a2n = a2n−1 + a2n−2, e a2n+1 = a2n - a2n−1

Com relação a essa sequência, julgue o item seguinte.

Existem infinitos valores inteiros de p e q tais que ap = aq.
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comentário:
A sequência dada é construída de forma a alternar entre a adição e a subtração dos termos anteriores, conforme a ordem (par ou ímpar). Isso cria um padrão que resulta na repetição dos valores ao longo da sequência.

Para entender isso, vamos analisar os dois primeiros termos: a0 = 1 e a1 = 3.
A partir daí:

  • Para n = 1:
    \(a_{2} = a_{1} + a_{0} = 3 + 1 = 4\)
    \(a_{3} = a_{2} - a_{1} = 4 - 3 = 1\)
  • Para n = 2:
    \(a_{4} = a_{3} + a_{2} = 1 + 4 = 5\)
    \(a_{5} = a_{4} - a_{3} = 5 - 1 = 4\)
  • Para n = 3:
    \(a_{6} = a_{5} + a_{4} = 4 + 5 = 9\)
    \(a_{7} = a_{6} - a_{5} = 9 - 4 = 5\)
  • Para n = 4:
    \(a_{8} = a_{7} + a_{6} = 5 + 9 = 14\)
    \(a_{9} = a_{8} - a_{7} = 14 - 5 = 9\)
Assim, observamos que valores como 1, 4, 5, 9 e 14 começam a se repetir em \em{p} e \em{q} diferentes. Essa repetição ocorre porque, sempre que calculamos um número de ordem par utilizando a soma, e o imediato ímpar subsequente pela subtração, estamos essencialmente retornando a algum termo já calculado.

Por exemplo, notamos que:- a0 = 1 e a3 = 1 - a2 = 4 e a5 = 4 - a4 = 5 e a7 = 5 - a6 = 9 e a9 = 9 Esses exemplos mostram que existem infinitas combinações de p e q que podem resultar nos mesmos valores. Portanto, a afirmativa de que existem infinitos p e q tais que ap = aq está CERTA.

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