Seja uma população normalmente distribuída com média \(μ\) e variância \(σ^2\). Um estimador para o parâmetro \(μ\) é definido como \(T=\dfrac{X_1+2X_2+3X_3+4X_4}{10}\) Sobre o est

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Como \(X_1,X_2,X_3,X_4\) são amostras independentes de uma população normal \(N(\mu,\sigma^2)\), qualquer combinação linear delas é também normal. Portanto, T é normalmente distribuída.

Calculemos a esperança:
\(E[T]=E\!\left[\dfrac{X_1+2X_2+3X_3+4X_4}{10}\right]=\dfrac{1}{10}\big(E[X_1]+2E[X_2]+3E[X_3]+4E[X_4]\big)\).
Como cada \(E[X_i]=\mu\), obtemos \(E[T]=\dfrac{1+2+3+4}{10}\mu=\mu\).
Logo, T é não tendencioso para \(\mu\).

Agora a variância: usando independência (covariâncias nulas),
\(Var(T)=\dfrac{1}{100}Var(X_1+2X_2+3X_3+4X_4)=\dfrac{1}{100}\big(1^2+2^2+3^2+4^2\big)\sigma^2\).
Como \(1^2+2^2+3^2+4^2=30\), temos \(Var(T)=\dfrac{30}{100}\sigma^2=\dfrac{3}{10}\sigma^2\).

Portanto, a alternativa correta está correta: T tem distribuição normal com média \(\mu\) e variância \(\dfrac{3}{10}\sigma^2\).