Seja uma população regida por uma distribuição de probabilidade com média \(\theta\) e variância 25. A fim de se estimar o valor do parâmetro q, propôs-se o estimador \(T \, (X_1,

Gabarito

A

Comentário do professor

A alternativa correta (A) indica que \( \alpha\beta = \dfrac{6}{25} \).

Como o estimador é não tendencioso, temos \(E[T]=\theta\). Logo, \(E[\alpha X_1+\beta X_2]=\alpha\theta+\beta\theta=(\alpha+\beta)\theta\). Para que isso valha para qualquer \(\theta\), é necessário \( \alpha+\beta=1\).

A variância do estimador é dada por \(Var(T)=Var(\alpha X_1+\beta X_2)\). Como \(X_1\) e \(X_2\) são independentes com variância 25, segue que \(Var(T)=25(\alpha^2+\beta^2)\).

Como foi dado \(Var(T)=13\), obtemos \( \alpha^2+\beta^2=\dfrac{13}{25} \).

Usando o quadrado da soma: \((\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\). Substituindo \(\alpha+\beta=1\) e \(\alpha^2+\beta^2=\dfrac{13}{25}\), temos

\(1 = \dfrac{13}{25} + 2\alpha\beta \;\Rightarrow\; 2\alpha\beta = 1 - \dfrac{13}{25} = \dfrac{12}{25}.\)

Portanto, \( \alpha\beta = \dfrac{6}{25} \), confirmando a alternativa correta (A).