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Questão FC213480

Adotando-se um nível de significância de 5%, existem motivos para se acreditar que o percentual de aposentadorias por invalidez indevidamente concedidas é maior do que 10%?

Testes de Hipóteses

CESGRANRIO · 2024

O Instituto de Seguridade Social de determinado país, no âmbito de uma auditoria interna, coletou uma amostra de 100 processos de concessão de aposentadoria por invalidez e constatou que, em 16 desses processos, a aposentadoria foi indevidamente concedida.

 

Essa estatística causou surpresa à instituição, que sempre acreditou que o percentual de processos de aposentadorias por invalidez indevidamente concedidas era de, aproximadamente, 10%, portanto bem abaixo dos 16% encontrados pela auditoria.

 

Adotando-se um nível de significância de 5%, existem motivos para se acreditar que o percentual de aposentadorias por invalidez indevidamente concedidas é maior do que 10%?

  1. Sim, uma vez que a estatística do teste supera o valor crítico para essa estatística, 1,96.
  2. Sim, uma vez que a estatística do teste supera o valor crítico para essa estatística, 1,64.
  3. Não, uma vez que a estatística do teste supera o valor crítico para essa estatística, 1,96.
  4. Não, uma vez que a estatística do teste supera o valor crítico para essa estatística, 1,64.
  5. Não, uma vez que a estatística do teste supera o valor crítico para essa estatística, 1,28.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Comentário sobre a alternativa correta:


Hipóteses:
H₀: \(p = 0{,}10\) (proporção igual a 10%)
H₁: \(p > 0{,}10\) (proporção maior que 10%)


Proporção amostral: \(\hat{p}\) = \(16/100 = 0{,}16\).


Erro padrão sob H₀: SE = \(\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}10\times0{,}90}{100}} = 0{,}03\).


Estatística do teste: Z = \(\dfrac{\hat{p}-p_0}{SE} = \dfrac{0{,}16-0{,}10}{0{,}03} = 2{,}00\).


Valor crítico para teste unilateral à direita com \(\alpha=0{,}05\): \(Z_{crit}\approx 1{,}64\).


Como \(Z = 2{,}00 > 1{,}64\), rejeita-se H₀ ao nível de 5% e conclui-se que há evidências suficientes para afirmar que a proporção de aposentadorias indevidamente concedidas é maior que 10% — justificando, portanto, a alternativa correta.


Observação rápida: as aproximações pelo \(Z\) são válidas aqui pois \(np_0=100\times0{,}10=10\) e \(n(1-p_0)=90\), ambos maiores que 5.

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