FC ConcursosQuestão: 235858
Questão:
FC235858
Conteúdo:
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
Concurso:
Órgãos: PETROBRAS - Petróleo Brasileiro S.A. - Cargos: Profissional Petrobras de Nível Superior (PETROBRAS) · CESGRANRIO · 2018

Seja V um espaço vetorial de dimensão 8 e \(U_1\) e \(U_2\) subespaços vetoriais de V tais que \(V = U_1 \oplus U_2\). Sabe-se que \(dim(U_2)\) = \(dim(U_1)\) + 4. Sejam \(\vec V_1

Seja V um espaço vetorial de dimensão 8 e \(U_1\) e \(U_2\) subespaços vetoriais de V tais que \(V = U_1 \oplus U_2\). Sabe-se que \(dim(U_2)\) = \(dim(U_1)\) + 4.

Sejam \(\vec V_1, \vec V_2, \vec V_3\) \(\in\) \(U_1\) e \(\vec V_4, \vec V_5, \vec V_6, \vec V_7 \in U_2\), vetores não nulos. Sabe-se que os vetores \(\vec V_4, \vec V_5, \vec V_6\) e \(\vec V_7\)  são linearmente dependentes. A maior dimensão que o espaço vetorial gerado por esses 7 vetores pode ter é

  1. 8
  2. 7
  3. 6
  4. 5
  5. 4 

Gabarito

Gabarito: D

Comentário do professor

Como \(V=U_1\oplus U_2\) e \(\dim(V)=8\) com \(\dim(U_2)=\dim(U_1)+4\), segue que \(\dim(U_1)+\dim(U_2)=8\). Logo, \(\dim(U_1)=2\) e \(\dim(U_2)=6\).

Os vetores \(\vec V_4,\vec V_5,\vec V_6,\vec V_7\in U_2\) são linearmente dependentes, portanto podem ser, no máximo, 3 linearmente independentes e gerarem um subespaço de dimensão ≤ 3 em \(U_2\).

Os vetores \(\vec V_1,\vec V_2,\vec V_3\in U_1\) pertencem a um subespaço de dimensão \(2\), logo podem ser, no máximo, 2 independentes.

Como a soma é direta, as dimensões somam sem interseção não-trivial. Assim, a maior dimensão possível gerada pelos sete vetores é \(3+2=\)\5.

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