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Questão FC261343

Sobre probabilidade, analise as afirmativas a seguir: I. Se A e B são eventos independentes, então é verdade que P(A ∩ B) = P(A). P(B) ⇒ P(AC ∩ B) = P(AC). P(B), onde AC é o comple

Probabilidade

IDECAN · 2022

Sobre probabilidade, analise as afirmativas a seguir:

I. Se A e B são eventos independentes, então é verdade que P(A ∩ B) = P(A). P(B) ⇒ P(AC ∩ B) = P(AC). P(B), onde AC é o complementar de A.

II. Se A e B são eventos de Ω, então P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).

III. Se A e B são eventos quaisquer de Ω, então P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).

Assinale o item correto.

  1. Somente I está correto.
  2. Somente II está correto.
  3. Somente III está correto.
  4. Somente I e II estão corretos.
  5. Todas as afirmações estão corretas.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Se A e B são independentes então, por definição, \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\). Daí segue que o complementar de A também é independente de B: usando \(P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)\) e substituindo \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) obtemos \(P(A^c\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(A^c)\,P(B)\).

Desigualdades: para quaisquer eventos A, B vale \(P(A\cap B)\le P(A)\) (pois \(A\cap B\subset A\)) e \(P(A)\le P(A\cup B)\) (pois \(A\subset A\cup B\)). Além disso \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le P(A)+P(B)\), que é a subaditividade.

Portanto, a alternativa D está correta: as afirmativas I e II são verdadeiras pelos argumentos acima.

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