Caso duas variáveis, X e Y sejam aleatórias e apresentem média u, e desvio padrão σ, então a variável U = X – Y apresentará variância

Gabarito

A

Comentário do professor

A variância de uma combinação linear é dada por \( \text{Var}(aX+bY)=a^2\text{Var}(X)+b^2\text{Var}(Y)+2ab\,\text{Cov}(X,Y) \).

Para \(U=X-Y\) temos \(a=1\) e \(b=-1\), portanto \( \text{Var}(U)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)-2\text{Cov}(X,Y) \).

Como X e Y possuem mesma variância, \( \text{Var}(X)=\text{Var}(Y)=\sigma^2\). Além disso, o coeficiente de correlação satisfaz \( \rho=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\), logo \( \text{Cov}(X,Y)=\rho\sigma^2\).

Substituindo, \( \text{Var}(U)=\sigma^2+\sigma^2-2\rho\sigma^2=2\sigma^2(1-\rho)\). Assim, a expressão correta é 2σ²(1−ρ).