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Questão FC261390

Um estudante de computação resolveu brincar um pouco com estatística. Para isso, ele utilizou um programa estatístico que gerava números aleatórios de uma variável aleatória Normal

Principais Distribuições Contínuas

IDECAN · 2024

Um estudante de computação resolveu brincar um pouco com estatística. Para isso, ele utilizou um programa estatístico que gerava números aleatórios de uma variável aleatória Normal Padrão. Ele então realizou as seguintes ações na seguinte ordem:

 

• Passo 1: Gerar dois números aleatoriamente da normal padrão Z1 e Z2;

• Passo 2: Elevar cada um deste números ao quadrado, obtendo os números \(Z_1^2\) e \(Z_2^2\);

• Passo 3: Somar os resultados obtendo o número \(w = Z_1^2 + Z_2^2\).

 

O estudante realizou estas ações mil vezes, obtendo assim 1.000 valores aleatórios w's gerados a partir deste processo. Por curiosidade ele resolveu plotar um histograma alisado de todos os valores obtidos. A seguir apresentamos cinco gráficos:

 

Sendo assim, o gráfico mais provável de ser obtido por este estudante é o

  1. gráfico IV.
  2. gráfico I.
  3. gráfico II.
  4. gráfico III.
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Gabarito

B

Comentário do professor

O estudante calcula \(w=Z_1^2+Z_2^2\) com \(Z_1,Z_2\) independentes e \(N(0,1)\). Portanto \(w\) segue uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade: \(w\sim\chi^2_2\).

A \b>densidade dessa distribuição é \(f(w)=\tfrac{1}{2}e^{-w/2}\) para \(w>0\).

Isso implica que a função tem máximo em 0 e decresce exponencialmente à medida que \(w\) aumenta, gerando uma forma fortemente assimétrica à direita com cauda longa.

Assim, o histograma esperado apresenta um pico próximo de zero e queda monotônica para a direita, correspondendo ao gráfico I.

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