Considere o modelo populacional \(y = \alpha + \beta x + u\), em que se denotam parâmetros desconhecidos e E(u|x) = 0. Determine o estimador OLS de β, sob a restrição α= β.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Partindo do modelo \(y=α+βx+u\) e aplicando a restrição \(α=β\), obtemos \(y=β+βx+u\), ou seja \(y=β(1+x)+u\).

Defina a variável transformada \(z_i=1+x_i\). O modelo passa a ser \(y_i=β z_i+u_i\), um ajuste linear sem intercepto em \(z\).

Para esse modelo, o estimador OLS de \(β\) é dado por \(\hat β=\dfrac{\sum_i z_i y_i}{\sum_i z_i^2}\), sob a hipótese \(E(u|x)=0\).

Substituindo \(z_i=1+x_i\) vem \(\hat β=\dfrac{\sum_i (1+x_i)y_i}{\sum_i (1+x_i)^2}\), que coincide com a expressão indicada.