Questão FC261395
Considere uma amostra aleatória \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) com cada \(X_i\) igualmente e independentemente distribuído, provenientes de uma população Normal com média \(\mu\) e vari
Característica dos Estimadores
IDECAN · 2024
Considere uma amostra aleatória \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) com cada \(X_i\) igualmente e independentemente distribuído, provenientes de uma população Normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\). Sobre o processo de estimação pontual para os parâmetros desta população são realizadas as seguintes afirmações:
l. A média amostral calculada por \(\bar{X}_n = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) é um estimador não tendencioso para \(\mu\).
ll. A variância amostral calculada por \(s^2 = { \large \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \over n -1}\) um estimador não tendencioso para σ2.
lll. A variância amostral calculada por \(\hat{ \sigma}^2 = { \large \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \over n}\) é um estimador consistente, porém apresenta um pequeno viés na estimação de σ2.
lV. Pode-se afirmar que \(var [ \bar{X}_n] = { \large \sigma \over \sqrt{n}}\).
Tendo como base estas afirmações, pode-se concluir que o número de afirmativas verdadeiras é
- 4.
- 1.
- 2.
- 3.
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Gabarito
D
Comentário do professor
O enunciado correto indica que existem três afirmativas verdadeiras. Vamos explicá-las de forma direta.
Média amostral não tendenciosa: Para \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. com média \(\mu\), tem-se \(\mathbb{E}[\bar{X}_n]=\mu\). Logo \(\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) é um estimador não tendencioso de \(\mu\).
Variância amostral com n-1: O estimador \(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X_n)^2\) satisfaz \(\mathbb{E}[s^2]=\sigma^2\), ou seja, é insesgado para a variância populacional.
Estimador com n (viés e consistência): O estimador \(\hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X_n)^2\) tem esperança \(\mathbb{E}[\hat\sigma^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2\), apresentando um viés de \(-\sigma^2/n\). Contudo, esse viés tende a zero quando \(n\to\infty\) e \(\hat\sigma^2\) converge para \(\sigma^2\), sendo portanto consistente.
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