Questão FC261396
Considere uma amostra aleatória \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) com cada \(X_i\) igualmente e independentemente distribuído, provenientes de uma população com média μ e variância σ2. Ana
Característica dos Estimadores
IDECAN · 2024
Considere uma amostra aleatória \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) com cada \(X_i\) igualmente e independentemente distribuído, provenientes de uma população com média μ e variância σ2.
Analise as seguintes afirmativas:
I. \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} ( \bar{X}_n - \mu) =0\) em que \(\bar{X}_n = { \large \sum_{i=1}^n X_i \over n}\) .
II. \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (S_n^2 - \sigma^2) = 0\) em que \(S_n^2 = { \large \sum_{i=1}^n ( X_i - \bar{X}_n)^2 \over n -1}\) .
III. O Teorema Central do Limite garante que a variável aleatória \(\bar{X}_n\) terá distribuição Normal de probabilidades com parâmetros μ e variância σ2.
IV. O Teorema Central do Limite garante que a variável aleatória \(( \bar{X}_n - \mu) / ( \sigma / \sqrt{n})\) terá distribuição Normal Padrão.
Tendo como base estas afirmações, pode-se concluir que o número de afirmativas verdadeiras é
- 4.
- 1.
- 2.
- 3.
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Gabarito
D
Comentário do professor
O gabarito indica que há 3 afirmativas verdadeiras: são verdadeiras as I, II e IV.
Lei dos Grandes Números: pela LGN, a média amostral \( \bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) converge para a média populacional \(\mu\) quando \(n\to\infty\). Assim, \( \bar X_n-\mu\to 0\) (em probabilidade ou quase certamente, conforme a versão aplicada).
Consistência da variância amostral: o estimador \(S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X_n)^2\) é consistente para \(\sigma^2\), isto é, \(S_n^2 \xrightarrow{p} \sigma^2\) quando \(n\to\infty\).
Teorema Central do Limite: ao padronizar a média, \( \dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) converge em distribuição para a Normal Padrão \(N(0,1)\). Portanto, essas três propriedades justificam o resultado indicado.
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