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Questão FC261408

Um pesquisador suspeitava que uma variável y tinha uma relação linear com uma x de acordo com o seguinte modelo: \(y_i =\beta_0 + \beta_1 x_i + e_i\) em que \(y_i\) era a resposta

Testes de Hipóteses

IDECAN · 2024

Um pesquisador suspeitava que uma variável y tinha uma relação linear com uma x de acordo com o seguinte modelo:

 

\(y_i =\beta_0 + \beta_1 x_i + e_i\)

em que \(y_i\) era a resposta da i-ésima unidade experimental correspondente ao valor de xi; além disso, ei  era o valor de uma variável aleatória distribuída normalmente com média zero e variância constante para cada valor de i. Os parâmetros β0 e β1 são fixos e desconhecidos. O mesmo então usou um software estatístico, e um nível de significância de 5% para verificar a significância dos parâmetros a partir do teste t-Student e utilizou a técnica dos mínimos quadrados para calcular as estimativas. Além disso, o programa forneceu alguns testes estatísticos relacionados aos parâmetros β0 e β1. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir:

 

Coeficientes

 Estimativa Erro Padrão tcal

p-value

β0

 -0,90 2,37 -0,38

0,714

β1

 3,54 0,38 9,23

0,00000151

Com base nestes resultados, pode-se afirmar que

  1. O parâmetro β1 é estatisticamente diferente de zero, considerando um nível de significância de 5%.
  2. O parâmetro β1 não é importante para o modelo, pois apresentou um valor baixo para p-value.
  3. O parâmetro β0 é estatisticamente diferente de zero, considerando um nível de significância de 5%.
  4. O parâmetro de intercepto β0 é importante para o modelo, pois apresentou um valor alto para p-value.
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Gabarito

A

Comentário do professor

O teste t para o parâmetro \(β_1\) apresenta p-valor igual a \(0{,}00000151\), muito inferior ao nível de significância adotado, \(α=0{,}05\).

Pela regra de decisão, como o p-valor < \(α\), rejeita-se a hipótese nula \(H_0:β_1=0\) em favor de \(H_a:β_1\neq0\). Isso significa que há evidência estatística suficiente para afirmar que o coeficiente angular é diferente de zero.

A estimativa de \(β_1\) é \(3{,}54\) e o t-cal é \(9{,}23\), reforçando um efeito positivo e estatisticamente significativo de \(x\) sobre \(y\) sob as suposições do modelo (erros normais, média zero e variância constante).

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