Sendo x e y números reais maiores do que 1 tais que \(log_y x + log_x y = { \large 10 \over 3}\) e xy = 144, então a média aritmética simples entre x e y é igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Use a mudança de base: \( \log_y x=\dfrac{1}{\log_x y}\). Como \(y=\dfrac{144}{x}\), substituímos em \( \log_y x+\log_x y=\dfrac{10}{3}\) obtendo \( \dfrac{1}{t}+t=\dfrac{10}{3}\), onde t=\(\log_x y\).

Multiplicando ficamos com a equação quadrática \(3t^2-10t+3=0\), cujas raízes são \(t=3\) e \(t=\dfrac{1}{3}\).

Se \(t=3\), então \(\log_x y=3\Rightarrow y=x^3\). Com \(xy=144\) vem \(x^4=144\), logo \(x=\sqrt[4]{144}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) e \(y=\dfrac{144}{x}=24\sqrt{3}\).

A média aritmética é \(\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}+24\sqrt{3}}{2}=13\sqrt{3}\). (A outra raiz apenas troca \(x\) e \(y\), mantendo a média.)