Dois números positivos apresentam uma média aritmética e uma média geométrica iguais a 10 e 8, respectivamente. A respectiva média harmônica desses dois números apresenta um valor

Gabarito

A

Comentário do professor

Sejam os dois números \(x\) e \(y\). Pelas informações, a média aritmética é \( \dfrac{x+y}{2}=10\) e a média geométrica é \( \sqrt{xy}=8\).

Da primeira igualdade obtemos \(x+y=20\). Da segunda, \(xy=64\).

Sabendo \(x+y\) e \(xy\), os números são as raízes da equação \(t^2-(x+y)t+xy=0\), isto é, \(t^2-20t+64=0\), cujas raízes são \(16\) e \(4\).

A média harmônica de dois números é \(H=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}=\dfrac{2xy}{x+y}\). Substituindo, \(H=\dfrac{2\cdot64}{20}=\dfrac{128}{20}=\dfrac{32}{5}=6,4\).