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Questão FC281196

Um conjunto de observações ordenadas x(i) é perfeitamente simétrico se satisfaz a condição: q(0,5) – x(i) = x(n + 1 – i) – q(0,5), para todo i, em que q(0,5) é a mediana ou segundo

Estatística Descritiva

VUNESP · 2023

Um conjunto de observações ordenadas x(i) é perfeitamente simétrico se satisfaz a condição: q(0,5) – x(i) = x(n + 1 – i) – q(0,5), para todo i, em que q(0,5) é a mediana ou segundo quartil, i = 1, 2, ..., n/2, se n for par e i = 1, 2, ..., (n+1)/2, se n for ímpar. Desta forma, o conjunto de observações x(i) = 12, 20, 35, 45, 56, 70, 78:

  1. não é perfeitamente simétrico, pois, q(0,5) – x(i) ≠ x(n + 1 – i) – q(0,5), para i = 3.
  2. não é perfeitamente simétrico, pois, q(0,5) – x(i) ≠ x(n + 1 – i) – q(0,5), para i = 1.
  3. não é perfeitamente simétrico, pois, q(0,5) – x(i) ≠ x(n + 1 – i) – q(0,5), para i = 2.
  4. é perfeitamente simétrico, pois, q(0,5) – x(i) ≠ x(n + 1 – i) – q(0,5), para todo i.
  5. é perfeitamente simétrico, pois, q(0,5) – x(i) = x(n + 1 – i) – q(0,5), para todo i.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Mediana: como há \(n=7\) observações, a mediana é o quarto valor, \(q_{(0,5)}=x_{(4)}=45\).

A condição de simetria exige que, para \(i=1,\dots,\frac{n+1}{2}=4\), valha \(q_{(0,5)}-x_{(i)}=x_{(n+1-i)}-q_{(0,5)}\).

Verificando rapidamente: i = 1: \(45-12=33\) e \(78-45=33\) (ok).
i = 2: \(45-20=25\) e \(70-45=25\) (ok).

i = 3: \(45-35=10\) enquanto \(56-45=11\). Como \(10 \neq 11\), a igualdade exigida pela condição não se mantém.

Portanto, o conjunto não é perfeitamente simétrico, pois a condição de simetria falha para \(i=3\).

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