Questão FC281521
Com relação às propriedades da esperança E(X) e da variância σ2(X) de uma variável aleatória X, é correto afirmar que:
Variáveis Aleatórias
VUNESP · 2021
Com relação às propriedades da esperança E(X) e da variância σ2(X) de uma variável aleatória X, é correto afirmar que:
- E(aX + b) = aE(X) + bE(X), sendo a e b duas constantes.
- E(kX) = k2E(X), sendo k uma constante.
- E(X ± Y) = E(X) + E(Y), sendo Y uma outra variável aleatória.
- σ2(kX) = kσ(X2), sendo k uma constante.
- σ2(X ± Y) = σ2(X) + σ2(Y), sendo Y uma outra variável aleatória com X e Y independentes.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmativa correta expressa a propriedade de aditividade da variância para variáveis independentes: \( \sigma^2(X\pm Y)=\sigma^2(X)+\sigma^2(Y)\).
No caso geral, para constantes \(a,b\) vale \(Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2ab\,Cov(X,Y)\), onde covariância é \(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\).
Aplicando \(a=1,b=1\) ou \(a=1,b=-1\) obtemos \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)\) e \(Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)\).
Se \(X\) e \(Y\) são independentes, então \(Cov(X,Y)=0\). Assim ambos os casos reduzem-se a \(Var(X\pm Y)=Var(X)+Var(Y)\), que é a fórmula usada na alternativa.
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