Sendo var(x) a variância de uma variável aleatória x e cov(x,y) a covariância entre duas variáveis aleatórias x e y, tem-se que

Gabarito

D

Comentário do professor

Para obter \( \mathrm{var}(aX - bY) \) usamos a propriedade de soma: \( \mathrm{Var}(U+V)=\mathrm{Var}(U)+\mathrm{Var}(V)+2\mathrm{Cov}(U,V) \).

Escolhendo \(U=a\!X\) e \(V=-b\!Y\), e aplicando \( \mathrm{Var}(cZ)=c^{2}\mathrm{Var}(Z) \) e \( \mathrm{Cov}(cX,dY)=cd\,\mathrm{Cov}(X,Y) \), temos:

\( \mathrm{Var}(aX-bY)=\mathrm{Var}(aX)+\mathrm{Var}(-bY)+2\mathrm{Cov}(aX,-bY) \)

Substituindo: \( =a^{2}\mathrm{Var}(X)+(-b)^{2}\mathrm{Var}(Y)+2a(-b)\mathrm{Cov}(X,Y) \).

Assim chega-se a \( \mathrm{var}(aX - bY)=a^{2}\mathrm{var}(X)+b^{2}\mathrm{var}(Y)-2ab\,\mathrm{cov}(X,Y) \). O sinal negativo no termo de covariância decorre do coeficiente \(-b\) aplicado a \(Y\).